Η εικασία του Γκόλντμπαχ

 

«Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών».

Η παραπάνω εικασία του Γκόλντμπαχ είναι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών. Εκφράζεται ως εξής:

Για κάθε n2 2n = p + q  όπου p, q πρώτοι αριθμοί

Για παράδειγμα,

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
κτλ.

Ιστορική αναδρομή

Στις 7 Ιουνίου 1742 ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ έστειλε μία επιστολή στον Λέοναρντ Όιλερ, στην οποία έκανε μια πρώτη αναφορά στην εξής εικασία:  Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Θεωρούσε βέβαια ως δεδομένο ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός, σύμβαση που μεταγενέστερα εγκαταλείφθηκε. Έτσι σήμερα η αρχική θεωρία του Goldbach θα γραφόταν ως εξής: Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Ο Όιλερ απάντησε με μία ισοδύναμη εκδοχή της εικασίας:
Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων,

προσθέτοντας ότι το δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα (”ein ganz gewisses Theorema”), παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να το αποδείξει. Αυτή η προγενέστερη εικασία είναι σήμερα γνωστή ως “τριαδική” εικασία του Γκόλντμπαχ, ενώ η μεταγενέστερη ως “ισχυρή” ή “δυαδική” εικασία του Γκόλνμπαχ. Η εικασία ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 9 μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων αριθμών καλείται ως η “αδύναμη” εικασία του Γκόλντμπαχ. Και οι δύο παραμένουν άλυτες μέχρι σήμερα.

Οταν το 1742 ο Γκόλντμπαχ έστελνε μια ακόμη επιστολή στον εξ αποστάσεως μαθηματικό φίλο του, τον Λέοναρντ Οιλερ (Euler), δεν πρέπει να είχε περάσει από το μυαλό του η ιδέα πως το περιεχόμενο της θα συζητιέται ακόμη και στις αρχές της επόμενης χιλιετίας, παραμένοντας άλυτη. Ο στόχος όσων θέλουν να λύσουν το πασίγνωστο μαθηματικό μυστήριο είναι απλός. Πρέπει να αποδείξουν ότι κάθε ζυγός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Δηλαδή ως άθροισμα δύο αριθμών που οι μόνοι τους διαιρέτες είναι ο αριθμός 1 και ο εαυτός τους.

Η εικασία φαντάζει αρκετά εύκολη, όμως οι παγίδες που κρύβει είναι αδιανόητες. Ο Πιέτ Χέιν, ένας από τους μαθηματικούς που έχουν ασχοληθεί με την εικασία, μιλώντας για το φαινομενικά απλό ερώτημα του Γκόλντμπαχ είχε πει πως: «Είναι ένα πρόβλημα που αξίζει να του επιτεθείς. Αποδεικνύει την αξία του όταν σου αντεπιτεθεί».

Αν κάποιος αρχίσει να παίρνει με τη σειρά τους ζυγούς αριθμούς θα διαπιστώσει ότι όλοι τους πληρούν τις προϋποθέσεις της εικασίας. Για παράδειγμα, ο αριθμός 100 προκύπτει από τη πρόσθεση των 3 και 97. Οι δύο αυτοί αριθμοί είναι πρώτοι, αφού διαιρούνται μόνο από το 1 και τους εαυτούς του αντίστοιχα. Σε περίπτωση όμως που προχωρήσουμε σε μεγαλύτερους αριθμούς, τότε θα χρειαστεί μια φόρμουλα που θα αποδεικνύει την ύπαρξη των κριτηρίων της εικασίας, καθώς οι προσθέσεις θα είναι πρακτικά αδύνατες.

Η φόρμουλα αυτή δεν έχει βρεθεί ακόμα, όσες προσπάθειες και αν έχουν γίνει. Λαμβάνοντας υπ’ όψιν τη τρομακτική εξέλιξη της τεχνολογίας του τελευταίου αιώνα, το γεγονός αυτό προκαλεί ακόμα μεγαλύτερη εντύπωση. Ακόμα και ο πιο ισχυρός υπολογιστής δεν μπορεί να αντεπεξέλθει στις απαιτήσεις της εικασίας. Το πρόβλημα θα γινόταν πολύ απλούστερο αν βρισκόταν ένας συγκεκριμένος αριθμός, όπου πέραν αυτού όλοι οι υπόλοιποι θα ικανοποιούσαν τη θεωρία. Ο αριθμός αυτός βρέθηκε από το Ρώσο μαθηματικό Ιβαν Βινογκράντοφ το 1937. Ομως είναι τόσο μεγάλος που και πάλι δεν βοηθά καθόλου στους υπολογισμούς.

Μετά από το πρώτο βήμα του Βινογκράντοφ, πολλοί μαθηματικοί εστίασαν στη καλύτερη προσέγγιση του συγκεκριμένου αριθμού. Το 1989 βρέθηκε ένας αριθμός πολύ πιο «βολικός» από αυτόν του Ρώσου μαθηματικού. Πρόκειται για το 1043000 , έναν αριθμό που επίσης δεν μπορεί να βοηθήσει λόγω του τεράστιου μεγέθους του. Είναι αδύνατον να ελεγχθούν όλοι οι αριθμοί μέχρι τον συγκεκριμένο, με τις δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστών.

Αν κάποιος μαθηματικός καταφέρει να δώσει την απάντηση στην εικασία του Γκόλντμπαχ, σίγουρα το όνομα του θα γραφτεί με χρυσά γράμματα στην ιστορία της μαθηματικής επιστήμης. Όχι μόνο επειδή θα έχει καταφέρει να λύσει το γόρδιο δεσμό των τελευταίων αιώνων, σώζονταν στην κυριολεξία αρκετές ζωές μαθηματικών που ανά καιρούς αφιερώνονται πλήρως στην εικασία, αλλά επειδή η απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα «σπρώξει» όλο το μαθηματικό κόσμο ένα βήμα παρακάτω.

Η ενδεχόμενη λύση, έχει να δώσει απαντήσεις σε εκατοντάδες θεωρήματα που βασίζονται πάνω στη μετέωρη παραδοχή ότι η εικασία ισχύει. Θεωρήματα που επηρεάζουν όχι μόνο τα μαθηματικά, αλλά και σχεδόν όλες τις άλλες επιστήμες. Αν φανταστούμε τα μαθηματικά ως μια αλυσίδα, τότε ο κρίκος που της λείπει είναι ιδιαίτερα… «ηλικιωμένος» ώστε να μπορέσει να συνδέσει εξαιρετικά πολλές θεωρίες μεταξύ τους.

Προς το παρόν όμως, αντιμετωπίζουμε την εικασία του Γκόλντμπαχ ως το άλυτο μυστήριο που θα απασχολεί επί αορίστου χρόνου τους μαθηματικούς. Εκτός αυτού όμως, θα αποδεικνύει για άλλη μια φορά πως το πιο ενδιαφέρον στοιχείο των μαθηματικών δεν είναι άλλο από την απλότητά τους.

Πηγή: Η εικασία του Γκόλντμπαχ: Μια απλή αριθμητική «παγίδα» που βασανίζει επί αιώνες τους μαθηματικούς | iefimerida.gr

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *