Μαθηματικά και μουσική

Το φαινόμενο για τη μελέτη του οποίου χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά μέθοδοι αριθμητικής υπήρξε πιθανώς η μουσική.

Αυτό αποτελεί έργο των οπαδών του Πυθαγόρα. Γεννημένος στην Ιωνική Σάμο, ο Πυθαγόρας εγκαταστάθηκε στη Νότια Ιταλία γύρω στο 530 π.Χ. Εκεί στην Ελληνική πόλη του Κρότωνα, ίδρυσε μια αίρεση που επιβίωσε μέχρι τον 4ο π.Χ. αιώνα. Ο όρος “αίρεση” μοιάζει κατάλληλος. Σχετικό με την ιστορία της επιστήμης είναι το γεγονός ότι οι Πυθαγόρειοι ανέπτυξαν επίσης ένα πάθος για τα μαθηματικά μεταξύ πολλών άλλων. Σύμφωνα με το έργο “Μετά τα φυσικά”  του Αριστοτέλη “Οι αποκαλούμενοι Πυθαγόρειοι αφοσιώθηκαν στα μαθηματικά: ήταν οι πρώτοι στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης  και η ενασχόληση τους με τα μαθηματικά τους οδήγησε στην πεποίθηση ότι οι αρχές τους ήταν οι αρχές των πάντων”.

Η έμφαση τους στα μαθηματικά ενδέχεται να προήρθε από μια παρατήρηση σχετικά με τη μουσική. Παρατήρησαν ότι, εάν, κατά το παίξιμο ενός εγχόρδου μουσικού οργάνου, προκαλέσουμε ταυτόχρονα δόνηση σε δύο χορδές ίσου πάχους, όμοιας σύνθεσης και ίδιας τάσης, παράγεται ένας ευχάριστος ήχος, υπό την προϋπόθεση ότι η αναλόγια  των μήκων των χορδών αντιστοιχεί σε τιμές μικρών ακέραιων αριθμών. Η απλούστερη περίπτωση είναι όταν το μήκος της μιας χορδής ισούται ακριβώς με το ήμισυ του μήκους της άλλης . Με σύγχρονους όρους, λέμε ότι ο ήχος αυτών των δύο χορδών απέχει μια οκτάβα, και συμβολίζουμε τους παραγόμενους ήχους με το ίδιο γράμμα του αλφαβήτου. Αν το μήκος μιας χορδής ισούται με τα δύο τρίτα της άλλης, οι δυο παραγόμενες νότες λέγεται ότι σχηματίζουν μια πέμπτη, μια ιδιαιτέρως ευχάριστη συγχορδία. Αν το μήκος μιας χορδής ισούται με τα τρία τέταρτα του μήκους της άλλης  παράγεται μια ευχάριστη συγχορδία που αποκαλείται τετάρτη. Από την άλλη πλευρά, εάν η αναλογία των μήκων των δύο χορδών δεν αντιστοιχεί σε τιμές μικρών ακέραιων αριθμών, ούτε σε τιμές ακέραιων αριθμών εν γένει, τότε ο ήχος είναι ενοχλητικός και δυσάρεστος.

Πιο ειδικά αυτό που ανακάλυψαν οι Πυθαγόρειοι είναι ότι δύο χορδές ενός μουσικού οργάνου, με την ίδια ένταση, πάχος και σύνθεση, θα κάνουν έναν ευχάριστο ήχο όταν δονηθούν την ίδια στιγμή, αν ο λόγος του μήκους των χορδών είναι μια αναλογία από μικρούς ακέραιους αριθμούς όπως: 1/2, 2/3, 1/4, 3/4 κλπ. Για να δούμε γιατί συμβαίνει αυτό, θα πρέπει πρώτα να βρούμε τη γενική σχέση μεταξύ της συχνότητας, του μήκους κύματος, και της ταχύτητας του κάθε είδους κύματος. Κάθε κύμα χαρακτηρίζεται από το πλάτος ταλάντωσης . Το πλάτος ενός ηχητικού κύματος είναι η πίεση του αέρα που μεταφέρει το κύμα. Το πλάτος ενός κύματος ωκεανού είναι το ύψος του νερού, το πλάτος ενός κύματος φωτός με μια κατεύθυνση πόλωσης είναι το ηλεκτρικό πεδίο σε αυτήν την κατεύθυνση και το πλάτος ενός κύματος που κινείται κατά μήκος της χορδής ενός μουσικού οργάνου είναι η μετατόπιση της χορδής από την κανονική του θέση σε μια κατεύθυνση ορθής γωνίας προς την χορδή.

Υπάρχει ένα απλό είδος κύματος γνωστό ως ένα ημιτονικό κύμα. Αν εμείς πάρουμε ένα στιγμιότυπο ενός ημιτονικού κύματος ανά πάσα στιγμή, βλέπουμε ότι το πλάτος του εξαφανίζεται προς διάφορα σημεία κατά μήκος της κατεύθυνσης που το κύμα ταξιδεύει. Επικεντρώνοντας την προσοχή μας για μια στιγμή σε ένα τέτοιο σημείο, αν κοιτάξουμε περαιτέρω κατά μήκος της κατεύθυνσης του κύματος θα δούμε ότι αρχικά το πλάτος αυξάνεται, μετά μηδενίζεται, ενώ τέλος, αν δούμε πιο μακριά, πέφτει σε μια αρνητική τιμή και ανεβαίνει ξανά στο μηδέν. Έτσι επαναλαμβάνει τον κύκλο ξανά και ξανά, όπως θα δούμε ακόμη μακρύτερα κατά τη φορά του κύματος. Η απόσταση μεταξύ των σημείων από την αρχή έως και το τέλος ενός πλήρους κύκλου είναι ένα χαρακτηριστικό του μήκους κύματος, που συμβατικά συμβολίζεται με το σύμβολο λ. Θα ήταν σημαντικό σε ότι ακολουθεί , εφόσον το πλάτος του κύματος εξαφανίζεται όχι μόνο στην αρχή και στο τέλος ενός κύκλου, αλλά και στη μέση, η απόσταση μεταξύ των διαδοχικών σημείων εξαφάνισης να είναι το μισό μήκος κύματος, λ/2. Οποιαδήποτε δύο σημεία όπου το πλάτος του κύματος εξαφανίζεται πρέπει να διαχωρίζονται από κάποιον ακέραιο αριθμό στο ήμισυ του μήκους κύματος.

Υπάρχει ένα θεμελιώδες μαθηματικό θεώρημα (δεν αποσαφηνίζεται μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα) που μας λέει πως η διαταραχή (δηλαδή οποιαδήποτε διαταραχή που έχει μια αρκετά ομαλή εξάρτηση από την απόσταση κατά το μήκος κύματος) μπορεί να εκφραστεί σχεδόν ως άθροισμα των ημιτονοειδών κυμάτων με διάφορα μήκη κύματος.(Γνωστή ως ανάλυση Φουριέ). Κάθε επιμέρους ημιτονικό κύμα εμφανίζει μια χαρακτηριστική ταλάντωση στον χρόνο, καθώς και στην απόσταση κατά μήκος της κατεύθυνσης διάδοσης του κύματος. Αν το κύμα ταξιδεύει με μία ταχύτητα u, εν συνεχεία σε ένα χρόνο t μετατοπίζεται σε μια απόσταση ut. Ο αριθμός των μήκων κύματος που διέρχονται από ένα σταθερό σημείο σε μια χρονική περίοδο t θα είναι ut/λ. Ο αριθμός των κύκλων ανά δευτερόλεπτο, από ένα σημείο όπου το πλάτος του κύματος και ο ρυθμός μεταβολής και των δύο θα συνεχίζει στην ίδια τιμή, είναι u/λ. Αυτό είναι γνωστό ως η συχνότητα, που δηλώνεται με το σύμβολο ν, οπότε ν=u/λ. Η ταχύτητα ενός κύματος μιας χορδής που ταλαντεύεται είναι σχεδόν σταθερή, ανάλογα με την τάση της χορδής και το πάχος της, και σχεδόν ανεξάρτητη από το μήκος κύματος της ή το πλάτος της. ‘Ετσι για αυτά τα κύματα(όπως και για το φώς) η συχνότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη  με το μήκος κύματος. Τώρα σκεφτείτε μια χορδή από κάποιο μουσικό όργανο με μήκος L. Το πλάτος του κύματος πρέπει να εξαφανίζεται προς το τέλος της χορδής, στο σημείο όπου η χορδή κρατιέται σταθερή. Αυτή η κατάσταση περιορίζει τα μήκη κύματος των μεμονωμένων ημιτονικών κυμάτων που μπορούν να συμβάλουν στο συνολικό πλάτος ή στο πλάτος ταλάντευσής της χορδής. Έχουμε παρατηρήσει ότι ότι η απόσταση μεταξύ των σημείων που το πλάτος κάποιου ημιτονικού κύματος χάνεται μπορεί να είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός του μισού μήκους κύματος. Έτσι το κύμα σε μια χορδή που έχει σταθεροποιηθεί στα δύο άκρα της πρέπει να εκφράζει έναν ακέραιο αριθμό Ν μισών μηκών κύματος, έτσι ώστε L=Nλ/2. Δηλαδή, τα μοναδικά πιθανά μήκη κύματος να είναι λ=2L/N με Ν=1,2,3, κλπ., άρα οι μόνες πιθανές συχνότητες είναι οι εξής (για μια χορδή πιάνου υπάρχουν μικρές διορθώσεις εξαιτίας της δυσκαμψίας της, η οποία παράγει όρους στο ν αναλογικά στο 1/L– θα το αγνοήσω αυτό εδώ.)

ν=uN/2L

Η χαμηλότερη συχνότητα για την περίπτωση Ν=1 είναι u/2L : όλες οι υψηλές συχνότητες για Ν=2, Ν=3 κλπ είναι γνωστές ως χροιές. Για παράδειγμα, η χαμηλότερη συχνότητα της μέσης χορδής  C οποιουδήποτε οργάνου ταλαντεύεται με μια συχνότητα της τάξεως των 261,63 κύκλων ανα δευτερόλεπτο η ταλαντεύεται με μια συχνότητα 523,26 κύκλων ανά δευτερόλεπτο ή 784,89 ανά δευτερόλεπτο και ούτω καθεξής. Οι τιμές της διαφορετικής χροιάς είναι που κάνουν τη διαφορά στην ποιότητα του ήχου από τα διάφορα μουσικά όργανα.

Τώρα, ας υποθέσουμε ότι οι ταλαντώσεις έχουν ρυθμιστεί σε δύο χορδές που έχουν μήκη Lκαι L2  , αλλά κατά τα άλλα είναι ταυτόσημα και ειδικότερα έχουν την ίδια ταχύτητα κύματος u. Σε μια χρονική περίοδο t οι φάσεις ταλάντωσης της χαμηλότερης συχνότητας της πρώτης και της δεύτερης χορδής θα περάσουν από n1 = ν1t = ut/2Lκαι n2 = ν2t = ut/2Lκύκλους  ή κλάσματα κύκλων, αντίστοιχα. Η αναλογία είναι η εξής:

n1/n2 = L2/L1

Έτσι, προκειμένου οι χαμηλότερες ταλαντώσεις των χορδών ξεχωριστά να περάσουν μέσα από ακέραιους αριθμούς κύκλων στην ίδια χρονική περίοδο, η ποσότητα L2/L1, πρέπει να είναι ένας λόγος των ακέραιων αριθμών – δηλαδή ένας ρητός αριθμός. (Στην περίπτωση αυτή, κάθε αρμονική της χορδής θα περάσει συγχρόνως από έναν ακέραιο αριθμό κύκλων.) Ο ήχος που παράγεται από τις δύο χορδές θα επαναλάβει συνεπώς το ίδιο, δηλαδή θα είναι σαν να έχει βγει από μια χορδή. Αυτό φαίνεται να συμβάλλει στην τερπνότητα του ήχου. Για παράδειγμα, εάν L2/L1 = 1/2, τότε η ταλάντωση της χορδής 2 της χαμηλότερης συχνότητας θα περάσει από δύο πλήρεις κύκλους για κάθε πλήρη κύκλο της αντίστοιχης ταλάντωσης της χορδής 1. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να πούμε ότι οι νότες που παράγονται από δύο χορδές είναι μια οκτάβα ξεχωριστά. Όλες οι διαφορετικές χορδές C στο πληκτρολόγιο του πιάνου παράγουν συχνότητες που είναι οκτάβες μεταξύ τους. Αν L2/L= 2/3, οι δύο χορδές σχηματίζουν μια χορδή που ονομάζεται πέμπτη. Για παράδειγμα, εάν μια χορδή παράγει τη μέση χορδή C, με 261,63 κύκλους ανά δευτερόλεπτο, εν συνεχεία μια άλλη χορδή που είναι 2/3 θα παράγει τη μέση χορδή G στο ίδιο διάστημα με συχνότητα 3/2 x  261,63 = 392,45 κύκλους ανά δευτερόλεπτο. Αν L2/L= 3/4, η χορδή αυτή ονομάζεται τετάρτη. Ο άλλος λόγος για την τερπνότητα αυτών των χορδών έχει να κάνει με τις αρμονικές. Προκειμένου η Ν1 αρμονική της χορδής 1 να έχει την ίδια συχνότητα με τη Ν2 αρμονική της χορδής 2, πρέπει να έχουμε υΝ1 /2L1 = υΝ2 /2L2 και έτσι:

L2/L1 = Ν21

Πάλι η αναλόγια των μηκών είναι ένας ρητός αριθμός, αλλά για διαφορετικό λόγο. Αν αυτή η αναλογία ήταν ένας άρρητος αριθμός, όπως το π η τετραγωνική ρίζα του 2, τότε οι αρμονικές των δύο χορδών δεν θα μπορούσαν να συγχρονιστούν, παρόλο που οι συχνότητες των υψηλών αρμονικών θα έρχονταν πολύ κοντά. Αυτό προφανώς θα ακουγόταν άσχημο στα αυτιά μας.

 

Πηγή:Πως να εξηγήσουμε τον κόσμο” , Steven Weinberg

 

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *