Οι γέφυρες του Königsberg – Ένας μαθηματικός γρίφος (vid)

Η παλαιά πόλη του Königsberg (σημερινό Kaliningrad, Ρωσία) βρίσκεται δίπλα στον ποταμό Πρέγκελ και έχει δυο νησάκια που επικοινωνούσαν με την πόλη μέσω επτά γεφυρών. Το ποτάμι ρέει γύρω από τα δυο νησάκια. Όλα τα γεφύρια, εκτός από ένα, συνδέουν τις όχθες με τις νησίδες, ενώ το άλλο ένα συνδέει τα δυο νησάκια μεταξύ τους. 

Ο Γρίφος

Κάθε Κυριακή ,πολλοί κάτοικοι του Königsberg συνήθιζαν να κάνουν περίπατο στις  γέφυρες, από αυτούς τους περιπάτους τέθηκε ένα πρόβλημα. Είναι δυνατό να κάνει κάποιος τον περίπατο του και να περάσει και από τις 7 γέφυρες, χωρίς να περάσει από κάποια γέφυρα δεύτερη φορά; Κανείς δεν κατάφερνε να λύσει το πρόβλημα παρότι  πολλοί ήταν εκείνοι που το μελέτησαν.

Μπορείτε να προσπαθήσετε να λύσετε τον γρίφο εδώ .

Η Λύση

Αυτός που έμελλε να το λύσει, ήταν ο Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler . Εκείνη την εποχή ο Euler βρισκόταν στην υπηρεσία της Ρωσίδας Τσαρίνας Αικατερίνης της μεγάλης, στην Αγία Πετρούπολη.

Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler, 1707 – 1783)

Το 1736, σε ένα από τα ταξίδια του, ο Euler σταμάτησε στο Königsberg κι άκουσε για το πρόβλημα, γράφει σχετικά:

«Το πρόβλημα που, απ’ όσο διαπιστώνω, πρέπει να είναι πολύ γνωστό, διατυπώνεται ως έξης: στην πόλη του Κένισμπεργκ, στην Πρωσία, υπάρχει ένα νησί το Κνάπχοφ, περιστοιχισμένο από τους παραποτάμους του Πρέγκελ. Επτά γέφυρες περνούν πάνω από το ποτάμι και τίθεται το ερώτημα αν υπάρχει διαδρομή η οποία διασχίζει κάθε μια από τις γέφυρες μια μόνο φορά. Πληροφορήθηκα ότι κάποιοι  λένε πως δεν γίνεται και άλλοι διερωτούνται, κανένας δεν υποστηρίζει πραγματικά ότι υπάρχει αυτή η διαδρομή.»
Όχι ,μόνο το έλυσε αποδεικνύοντας ότι μια τέτοια διαδρομή δεν υπάρχει αλλά έθεσε και τις βάσεις για τον κλάδο των μαθηματικών που σήμερα ονομάζεται θεωρία γράφων ( ή γραφημάτων).
Ο Euler έκανε ένα σχέδιο της πόλης και από αυτό έφτιαξε μια απλοποιημένη αναπαράσταση στην όποια τα κομμάτια ξηράς τα αντικατέστησε με σημείο και τις γέφυρες τις παρέστησε με γραμμές.

Στην συνέχεια, παρατήρησε ότι για να πετύχει κανείς αυτό το ταξίδι, να περάσει δηλαδή από κάθε γέφυρα μια μόνο φορά ,έπρεπε κάθε σημείο  να συνδέεται με άρτιο αριθμό γραμμών διότι ,όταν ο περιπατητής περνά από  ένα κομμάτι ξηράς, πρέπει να μπει  από μια γέφυρα  και να βγει από μια διαφορετική.

Υπάρχουν όμως μόνο δυο εξαιρέσεις  σε αυτόν τον κανόνα: όταν ο περιπατητής αρχίζει ή τελειώνει το ταξίδι. Στην αρχή του ταξιδιού, ο περιπατητής αφήνει ένα κομμάτι ξηράς και χρειάζεται μια και μοναδική γέφυρα για να βγει, και στο τέλος ο περιπατητής φτάνει σε ένα κομμάτι ξηράς και  χρειάζεται μόνο μια γέφυρα για να μπει .Αν το ταξίδι αρχίζει και τελειώνει σε διαφορετικές τοποθεσίες, τότε οι δυο αυτές εκτάσεις επιτρέπεται να έχουν περιττό αριθμό γεφυρών. Αν όμως το ταξίδι αρχίζει και τελειώνει  στο ίδιο μέρος, τότε το σημείο αυτό, όπως και όλα τα αλλά σημεία, πρέπει να έχει άρτιο αριθμό γεφυρών. Έτσι ο Euler  κατέληξε στο γενικό συμπέρασμα ότι για οποιοδήποτε δίκτυο γεφυρών, ένα πλήρες ταξίδι-περίπατο, διασχίζοντας κάθε γέφυρα μια φορά μόνο, είναι δυνατόν μόνο στην περίπτωση που όλες οι εκτάσεις ξηράς  έχουν άρτιο αριθμό γεφυρών, ή όταν δυο  ακριβώς εκτάσεις ξηράς έχουν περιττό αριθμό γεφυρών. Στην περίπτωση του Königsberg  υπάρχουν συνολικά τέσσερις εκτάσεις ξηράς και όλες συνδέονται με περιττό αριθμό γεφυρών. Τρία σημεία έχουν τρεις γέφυρες και ένα πέντε γέφυρες.

Συμπέρασμα

Το επίτευγμα του Euler ήταν ότι κατάφερε να αποσυνδέσει το πρόβλημα από τις πραγματικές διαστάσεις της πόλης και να επικεντρωθεί στον τρόπο που συνδέονταν οι γέφυρες μεταξύ τους.

Σχεδίασε στο χαρτί τις γέφυρες για να διαπιστώσει, χωρίς να χρειαστεί να περπατά στην πόλη επί ώρες, ότι οι φυσικές λεπτομέρειες του προβλήματος δεν είχαν καμία σχέση με τη λύση του.

Στην απόδειξή του πρωτεύοντα ρόλο είχε το δίκτυο των συνδέσεων ανάμεσα στα διαφορετικά τμήματα της πόλης και όχι η θέση τους ή οι αποστάσεις μεταξύ τους.

Η ιστορία των γεφυρών του Königsberg είναι σαν μία ιστορία που όλοι οι μαθηματικοί, μηχανικοί και αρχιτέκτονες πρέπει να ακούσουν κάποια στιγμή. Είναι σημαντικό γιατί γέννησε ένα νέο τρόπο προσέγγισης του χώρου και της γεωμετρίας. Αντί να ενδιαφερόμαστε για τις διαστάσεις, τις αποστάσεις και τις γωνίες μεταξύ γεωμετρικών οντοτήτων, αυτή η νέα προοπτική εστίαζε στο πως είναι συνδεδεμένες αυτές οι οντότητες. Αυτή ήταν και η αρχή της τοπολογίας, ενός από τα πιο ισχυρά παρακλάδια της μαθηματικής επιστήμης που μελετήθηκε τον τελευταίο αιώνα. 

Δείτε το σχετικό βίντεο:

Σήμερα


Είναι ενδιαφέρον να δούμε σήμερα πόσες από τις γέφυρες εκείνες είναι ακόμα εκεί. Σαν ένα σημαντικό σημείο της Βαλτικής, η πόλη του Königsberg, ήταν ένα στρατηγικό σημείο για το Γερμανικό στόλο κατά τη διάρκεια του 2ου παγκοσμίου πολέμου και για αυτό και υπέφερε από πολύ ισχυρούς βομβαρδισμούς από τους συμμάχους. Μεγάλο μέρος του ιστορικού ιστού της πόλης ισοπεδώθηκε, συμπεριλαμβανομένου και του ξακουστού πανεπιστημίου στο νησί στην καρδιά της πόλης όπου ο Kant και ο Hilbert ανδρώθηκαν ακαδημαϊκά. Οι γέφυρες όμως;
Τρεις από τις προπολεμικές γέφυρες είναι ακόμα εκεί: η «ξύλινη» γέφυρα (Holzbrücke), η «μελί» γέφυρα (Honigbrücke) και η «ψηλή» γέφυρα High (Hohebrücke). Δύο γέφυρες έχουν εξαφανιστεί εντελώς: η γέφυρα «σφαγίων» (Köttelbrücke) και η γέφυρα του «σιδερά» (Schmiedebrücke). Οι υπόλοιπες γέφυρες – η πράσινη γέφυρα (Grünebrücke) και η γέφυρα του «έμπορου» (Krämerbrücke) – είχαν ξαναχτιστεί μετά τον πόλεμο για να σηκώσουν μεγάλο μεταφορικό μέρος μέσα στην πόλη. 

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/2016/04/blog-post_8.html

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *