Γεωμετρική πρόοδος
Γεωμετρική πρόοδος είναι η ακολουθία , στην οποία κανένας όρος δεν ισούται με το μηδέν και για δύο διαδοχικούς όρους της αν, αν+1 ισχύει ότι 
- Γενικός τύπος: αν=α1·λν-1
- Αναδρομικός τύπος: αν=αν-1·λ
Παραδείγματα στην καθημερινότητα
1.Είναι μία λίμνη που γεμίζει με νούφαρα.Τα νούφαρα της λίμνης κάθε μέρα διπλασιάζονται.
Σε 50 μέρες η λίμνη είναι γεμάτη από νούφαρα.
Στις πόσες μέρες η λίμνη ήτανε μισογεμάτη;
Η απάντηση θα δωθεί παρακάτω.
2.Aποφασίζουμε να κάνουμε αποταμίευση.Έχουμε έναν κουμπαρά.Βάζουμε σήμερα στον κουμπαρά 1 λεπτό και κάθε μέρα βάζουμε το διπλάσιο ποσό από εκείνο που βάλαμε την προηγούμενη μέρα. Δηλαδή 1,2,4,8,….κ.τ.λ.
Μπορείτε να υπολογίσετε ή έστω να φανταστείτε τι ποσό θα έχουμε στον κουμπαρά μας σε ένα μήνα (30 ημέρες);
Η διαδικασία αυτή όπου ξεκινάμε από έναν αριθμό (α1) και κάθε φορά τον πολλαπλασιάζουμε με έναν αριθμό (λ) είναι μία Γεωμετρική Πρόοδος.
Το άθροισμα ν όρων μιας γεωμετρικής ποόδου δίνεται από τον τύπο
Για να δούμε….σε ένα μήνα μόνο και ξεκινώντας από μερικά “ασήμαντα” λεπτά!!
Στην περίπτωση μας α1=1 και λ=2 και ν=30.
Κάντε τους υπολογισμούς και αυτό που θα βρείτε δε θα το πιστεύετε!
Κι όμως το άθροισμα αυτό μας δίνει 1073741823 λεπτά!!! δηλαδή περισσότερα από 10 εκατομμύρια ευρώ!!
Αν τώρα στο ερώτημα με τα νούφαρα απαντήσατε στις 25 μέρες,τότε κάνατε λάθος.
Η σωστή απάντηση είναι στις 49!!Στις 49 μέρες τα νούφαρα θα είναι τα μισά,τη επόμενη θα διπλασιαστούν και η λίμνη θα γεμίσει!
Απλά μαθηματικά!
Η γεωμετρική πρόοδος και ο μύθος για το σκάκι
Ο μύθος λέει ότι η εφεύρεση του σκακιού έγινε στην αρχαία Ινδία από έναν σοφό, τον Sessa, o oποίος καθόρισε τους κανόνες του παχνιδιού και δώρισε το νέο παιχνίδι στο βασιλιά Sheram. Γοητευμένος ο βασιλιάς από το νέο παιχνίδι ζήτησε από τον Sessa να επιλέξει όποια αμοιβή επιθυμούσε. Ο σοφός του ζήτησε να πληρωθεί σε ρύζι με τον εξής τρόπο: δύο κόκκους ρύζι για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, τέσσερις για το δεύτερο, οχτώ για το τρίτο, και ούτω καθεξής, βάζοντας σε κάθε τετράγωνο της σκακιέρας δύο φορές τον αριθμό από κόκκους του γειτονικού τετραγώνου.
Ο βασιλιάς ζήτησε να φέρουν ένα σακί με ρύζι για να πληρώσει τον Sessa. Και άρχισε να βάζει τους κόκκους στη σκακιέρα. Όμως σύντομα κατάλαβε ότι ακόμα και η αμύθητη περιουσία του δεν αρκούσε για να τον πληρώσει. Συνειδητοποίησε ότι όταν έφτανε στο εικοστό τετράγωνο θα χρειαζόταν περίπου 1 εκατομμύριο κόκκους ρυζιού, στο τριακοστό 1 δισεκατομμύριο κόκκους, στο τεσσαρακοστό 1 τρισεκατομμύριο, και πάει λέγοντας. Για να πληρώσει τον σοφό θα χρειαζόταν περίπου 1 τρισεκατομμύριο τόνους ρυζιού, δηλαδή περισσότερους τόνους από όσο ρύζι παράγει η Κίνα σε 7000 χρόνια, με βάση την περσινή της παραγωγή!
Ποιο είναι το ηθικό δίδαγμα της ιστορίας; Ότι η εκθετική αύξηση είναι ύπουλο πράγμα. Το σκέφτεσαι λίγο και τα νούμερα φαίνονται μικρά. Αλλά τελικά θα σου τη φέρει. Όσο μεγάλος και να είσαι θα σου τη φέρει. Μετά από λίγα μόλις βήματα έχει γίνει τόσο μεγάλη που δεν το χωράει ο νους σου. Ο αριθμός γίνεται τόσο εξωφρενικά μεγάλος που είναι μεγαλύτερος από τα μόρια του σύμπαντος…
Πηγή: https://aplamathimatika.blogspot.com/
