“Το Άπειρο Ξενοδοχείο του Hilbert” είναι ένα μαθηματικό παράδοξο που διατυπώθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό David Hilbert και έχει παιδέψει πολλούς μαθηματικούς, φυσικούς ακόμη και θεολόγους. Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός ξενοδοχείου με άπειρα δωμάτια στο οποίο έρχονται με διάφορους τρόπους άπειροι επισκέπτες, εξετάζει την έννοια του απείρου. Μια δύσκολη υπόθεση στην οποία αντιτίθενται οι αισθήσεις μας που την βλέπουν μάλλον ως αριθμό και όχι ως έννοια.
Το Άπειρο Ξενοδοχείο, ένα νοητικό πείραμα που επινόησε ο Γερμανός μαθηματικός David Hilbert (Ντέιβιντ Χίλμπερτ), είναι ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια. Αυτό είναι εύκολο να το καταλάβει κάποιος, σωστά; Λάθος. Τι γίνεται εάν όταν το ξενοδοχείο είναι εντελώς γεμάτο, έρθει ένας καινούριος πελάτης; Ή ακόμα καλύτερα, 40 πελάτες; Ή ένα λεωφορείο με άπειρους επιβάτες;
Δείτε το σχετικό video:
Περιγραφή Παράδοξου
To ξενοδοχείο του Hilbert είναι ένα ξενοδοχείο με άπειρο το πλήθος δωματίων τα οποία όλα είναι κατειλημμένα.
Το ξενοδοχείο δημιουργεί το εξής παράδοξο: Είναι μεν πλήρες, αλλά όμως όταν έρθει ένας νέος επισκέπτης υπάρχουν κενές θέσεις.
Ένας ταξιδιώτης καταφθάνει και ζητάει ένα δωμάτιο για μια νύκτα. Ο υπάλληλος του ξενοδοχείου του ανακοινώνει ότι όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα.
Τότε παρεμβαίνει ο διευθυντής και δίνει την εξής λύση.
Μεταφέρει τον ένοικο του δωματίου 1 στο δωμάτιο 2, τον ένοικο του 2 στο 3, του 3 στο 4 κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο. Έτσι ο νέος πελάτης μπορεί να λάβει το δωμάτιο 1.
Την επόμενη ημέρα ο ταξιδιώτης αναχωρεί και το δωμάτιο 1 εκκενώνεται.
Τότε ο διευθυντής επαναφέρει την πληρότητα 100%.
Μεταφέρει το ένοικο του δωματίου 2 στο δωμάτιο 1, τον ένοικο του 3 στο 2, του 4 στο 3 κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο.
Ακόμη και άπειροι νέοι επισκέπτες να έρθουν, πάλι μπορούν να χωρέσουν στο ξενοδοχείο:π.χ. οι παλαιοί στα άρτια δωμάτια, οι νέοι στα περιττά.
Επίσης όταν έρθουν άπειροι νέοι πελάτες, τότε μπορούν να τοποθετηθούν
- οι παλαιοί στα δωμάτια με αριθμό πολλαπλάσιο του 3 (δηλ. στα 3k),
- οι νέοι στα αμέσως γειτονικά τους (δηλ στα 3k + 1)
- και απομένουν και άπειρα κενά δωμάτια (εκείνα της μορφής 3k + 2).
Οφείλεται στο ότι ένα άπειρο Αριθμήσιμο Σύνολο μπορεί να ενσωματωθεί στον εαυτό του.
Ενώ το Ξενοδοχείο Hilbert είναι απόλυτα επιτρεπτό από τα Μαθηματικά, δεν μπορεί να γίνει πραγματικότητα ακριβώς επειδή το απορρίπτει η Φυσική.
Οι άπειρες μεταθέσεις που απαιτούνται, χρειάζονται άπειρο χρόνο να εκτελεσθούν και επομένως επομένως άπειρη ενέργεια.
Όμως, όπως προβλέπει το δεύτερο θεώρημα της Noether που συσχετίζει χρόνο και Ενέργεια, θέση και Ορμή, γωνία και Στροφορμή, φαινόμενα στο Σύμπαν μας που απαιτούν άπειρη ενέργεια εκτέλεσης απαγορεύονται ρητά να συμβούν, καθόσον παραβιάζουν την Αρχή Διατήρησης Ενέργειας.
