Το θεώρημα των άπειρων πιθήκων

Σύμφωνα με το θεώρημα των απείρων πιθήκων, ένας πίθηκος που χτυπάει πλήκτρα στην τύχη σε μία γραφομηχανή για ένα άπειρο χρονικό διάστημα θα παραγάγει σχεδόν βέβαια ένα δεδομένο κείμενο όπως για παράδειγμα τα άπαντα του Ουίλιαμ Σαίξπηρ.

Σε αυτό το πλαίσιο το «σχεδόν βέβαια» είναι μαθηματικός όρος με συγκεκριμένη έννοια, και ως «πίθηκος» δεν νοείται ένας πραγματικός πίθηκος, αλλά χρησιμοποιείται μεταφορικά ως μία αφηρημένη συσκευή που παράγει μία τυχαία σειρά γραμμάτων επ’ άπειρον. Το θεώρημα καταδεικνύει τους κινδύνους στους συλλογισμούς για το άπειρο όταν υπεισέρχεται η υπόθεση τεράστιου αλλά πεπερασμένου αριθμού και αντίστροφα. Η πιθανότητα να παραγάγει ο πίθηκος ένα κείμενο με μέγεθος αντίστοιχο του Άμλετ, είναι τόσο μικρή ώστε αν το πείραμα εκτελούνταν, η πιθανότητα να συμβεί μέσα σε ένα χρονικό διάστημα της τάξης μεγέθους της ηλικίας του σύμπαντος είναι μηδαμινή αλλά όχι μηδενική.

Τα πειράματα

Το 2002, ερευνητές στο Πανεπιστήμιο του Πλύμουθ στο Ηνωμένο Βασίλειο δοκίμασαν το θεώρημα με έξι λοφιοφόρους μακάκους (Είδος πιθήκου) σε ένα κλουβί με έναν υπολογιστή. Οι πίθηκοι χτύπησαν το μηχάνημα με ένα βράχο και ούρισαν πάνω του, όταν πληκτρολόγησαν, ήταν κυρίως το γράμμα “s”. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι ούτε ο αριθμός των πιθήκων ούτε ο χρόνος που επιτρέπεται για το πείραμα ήταν άπειροι.

Το 2011, ο Αμερικανός προγραμματιστής Jesse Anderson δημιούργησε ένα πείραμα απεριόριστων πιθήκων που βασίζεται σε λογισμικό για να δοκιμάσει το θεώρημα. Ο Άντερσον χρησιμοποίησε τον δικό του υπολογιστή, συνεργαζόμενος με το Amazon Elastic Compute Cloud (Amazon EC2) και το Hadoop . Οι εικονικοί πίθηκοι ήταν ένα εκατομμύριο μικρά προγράμματα που δημιουργούσαν τυχαίες ακολουθίες εννέα χαρακτήρων. Όταν οποιαδήποτε ακολουθία ταιριάζει με μια συμβολοσειρά Σαίξπηρ κειμένου, αυτή η συμβολοσειρά απενεργοποιήθηκε. Το έργο ολοκλήρωσε τις ολοκληρωμένες εργασίες σε 1,5 μήνες.

Στις αρχές του 20ού αιώνα, ο Émile Borel, ένας μαθηματικός, και ο Sir Arthur Eddington, ένας αστρονόμος, χρησιμοποίησαν το Θεώρημα των άπειρων πιθήκων για να επεξηγήσουν τα χρονοδιαγράμματα που υπονοεί η στατιστική μηχανική. Στη δημοφιλή κουλτούρα, το θεώρημα έχει εμφανιστεί σε πολλά έργα, όπως η διήγηση του Ράσελ Μαλόνι, η «Άκαμπτη Λογική», ο «Οδηγός για τον Γαλαξία του Ντάγκλας Αδάμ» και ένα επεισόδιο των Σίμπσονς.

Κατανόηση των πιθανοτήτων

Πρώτα απ ‘όλα, πρέπει να κατανοήσουμε τις πιθανότητες για να κατανοήσουμε το Θεώρημα. Ας υποθέσουμε (για λόγους απλότητας) ότι ο πίθηκος έχει μόνο μια επιλογή από 40 πλήκτρα που περιλαμβάνουν το αλφάβητο (a, b, c,… z), κάποια σημεία στίξης (“,”, “.”, “:”, …) Και χώρο.

Υποθέτουμε επίσης ότι ο πίθηκος πληκτρολογεί τυχαία και κάθε πλήκτρο πιέζεται με την ίδια πιθανότητα. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα για κάθε κλειδί είναι η ίδια.

Ποια είναι η πιθανότητα να πληκτρολογήσετε το γράμμα “a”; Λοιπόν, έχουμε συνολικά 40 πιθανά πλήκτρα και το “a” είναι ένα από αυτά, οπότε η πιθανότητα να πατηθεί το “a” είναι 1/40. Το ίδιο ισχύει για κάθε άλλο κλειδί, επομένως η πιθανότητα πληκτρολόγησης “p” είναι επίσης 1/40, και ούτω καθεξής.

Είπαμε ήδη ότι ο Charly πατά τα πλήκτρα τυχαία. Με αυτό, εννοούμε ότι ό, τι πληκτρολογεί στη συνέχεια είναι ανεξάρτητο από αυτό που είχε πληκτρολογήσει προηγουμένως. Μαθηματικά, λέμε ότι αυτά τα γεγονότα είναι στοχαστικά ανεξάρτητα.

Επομένως, εάν θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του Charly πρώτα να πληκτρολογήσει “a” και μετά “p”, πολλαπλασιάζουμε τις πιθανότητες. Η πιθανότητα του πιθήκου να πληκτρολογήσει πρώτα το “a” και μετά το “p” είναι έτσι 1/40 * 1/40 = 1/1600 – το οποίο είναι απίστευτα μικρό.

Γιατί να πολλαπλασιάσετε και να μην προσθέσετε; Υπάρχει μια μαθηματική εξήγηση και μια διαισθητική. Για τη διαισθητική εξήγηση, απλώς θυμηθείτε ότι το γεγονός του μαϊμού να πληκτρολογήσει πρώτα το “a” και μετά το “p” είναι μικρότερο από την πιθανότητα να πληκτρολογήσετε “a” πρώτα και μετά οτιδήποτε μετά. Δεδομένου ότι οι πιθανότητες είναι αριθμοί μεταξύ 0 και 1, πολλαπλασιάζοντας τους, κάνουμε αυτούς τους αριθμούς μικρότερους. Εάν προσθέσαμε τις πιθανότητες, το αποτέλεσμα θα ήταν μεγαλύτερος αριθμός – κάτι που δεν έχει νόημα. Εάν αναρωτιέστε τι θα συμβεί εάν προσθέσετε τις πιθανότητες, θα έχετε την πιθανότητα του πιθήκου να πληκτρολογεί “a” ή “p”.

Τώρα, ποια θα ήταν η πιθανότητα του πιθήκου να πληκτρολογεί «apple».

Εφαρμογή στην στατιστική μηχανική

Σε μια από τις μορφές με τις οποίες οι πιθανολόγοι γνωρίζουν τώρα αυτό το θεώρημα, με τους “δακτυλογραφικούς”  πιθήκους εμφανίστηκε στο Bormile Borel ‘s 1913 άρθρο ” Mécanique Statistique et Irréversibilité ” ( Στατιστική μηχανική και μη αναστρέψιμη ),  και στο βιβλίο του “Le Hasard” το 1914. Οι «μαϊμούδες» του δεν είναι πραγματικοί πίθηκοι. Αντίθετα, είναι μια μεταφορά για έναν φανταστικό τρόπο παραγωγής μιας μεγάλης, τυχαίας ακολουθίας γραμμάτων. Ο Μπόρελ είπε ότι αν ένα εκατομμύριο πίθηκοι πληκτρολογούσαν δέκα ώρες την ημέρα, ήταν εξαιρετικά απίθανο η παραγωγή τους να ισούται ακριβώς με όλα τα βιβλία των πλουσιότερων βιβλιοθηκών του κόσμου. και όμως, σε σύγκριση, ήταν ακόμη πιο απίθανο να παραβιαστούν οι νόμοι της στατιστικής μηχανικής, ακόμη και για λίγο.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται.