Τhe moving sofa problem

Ο Αυστριακός- Καναδός μαθηματικός Leo Moser το 1966 έθεσε το ακόλουθο μαθηματικό ερώτημα:

Ποιο είναι το σχήμα εκείνο του χώρου στο επίπεδο που μπορούμε να μετακινήσουμε γύρω από μια δεξιόστροφη γωνία ενός διαδρόμου σπιτιού πλάτους 1 ;

Αυτή η τόσο απλή ερώτηση έγινε γνωστή ως το πρόβλημα του κινούμενου καναπέ ή moving sofa problem και παραμένει ένα πρόβλημα υπό μελέτη εδώ και 50 χρόνια.

Μια τόσο απλή ερώτηση πώς γίνεται να γίνεται τόσο δύσκολο πρόβλημα; Ας σκεφτούμε μερικά από είδη σχημάτων ‘καναπέ’ που μπορούμε να κατασκευάσουμε για να μπορούμε να κινηθούμε στο γωνιακό διάδρομο.

Τι γίνεται εάν έχουμε ένα καναπέ σχήματος τετραγώνου με πλευρές 1; Η απάντηση είναι απλή σε αυτό το ερώτημα καθώς εάν σκεφτούμε ότι έχουμε ένα διάδρομο με πλάτος ένα όπως φαίνεται και στο σχήμα , καταλαβαίνουμε τι γίνεται (μοιάζει και με tetris).

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα να έχουμε ένα ημικύκλιο καναπέ με ακτίνα όση με τη μονάδα, μέσα από ένα απλό σχήμα και μέσα από την προσομοίωση:

Ο ημικυκλικός καναπές έχει εμβαδόν μεγαλύτερο του 1 (περίπου 1,57 τ.μ). Είναι ακόμα πιο ενδιαφέρον, καθώς θα πρέπει να μετακινήσεις τον καναπέ αυτό γύρω από τη γωνία του διαδρόμου και διαφέρει αρκετά από τον τετράγωνο καναπέ της πρώτης περίπτωσης. Η κίνηση αυτή περιλαμβάνει μια στροφή και μια μεταφορά.

Γεννάται όμως ένα άλλο ερώτημα. Μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν τέτοιο καναπέ;

Ο μαθηματικός John Hammersley παρατήρησε ότι εάν έχουμε ένα ημικύκλιο και το κόψουμε ώστε να δημιουργήσουμε δύο χωριά σχεδόν ημικυκλικά (quarter- circles), τα οποία τα ενώνουμε μεταξύ τους με ένα ορθογώνιο και έχει στο κάτω μέρος του σχήματος ένα ημικύκλιο , και έτσι δημιουργούμε ένα καναπέ ,τον οποίο μπορούμε να μετακινήσουμε τον καναπέ γύρω από μια γωνιά όπως στο σχήμα (μεταφορά- στροφή- μεταφορά).

Η ιδέα του Hammersley δουλεύει για τιμές μεταξύ 0 και 1 της ακτίνας του ημικύκλιας τρύπας που βρίσκεται στο κάτω μέρος του σχήματος.

Το 1992 ο  Joseph Gerver εξέλιξε το σχήμα του Hammersley, που κάλυπτε ένα χώρο 2,2195 τ.μ., όπως βλέπουμε και στο σχήμα . Η ιδέα του Gever οδηγεί στην επίλυση διαφορικών  εξισώσεων οι οποίες μπορούν να μας δώσουν τους τύπους για τα διάφορα κομμάτια του σχήματος (3 ευθύγραμμα τμήματα και 15 καμπύλα κομμάτια).

Το πρόβλημα του κινούμενο καναπέ έχει και άλλες παραλλαγές. Μια από αυτές έρχεται από τον μαθηματικό John  Horton Conway που αναζητούσε να βρει την μεγαλύτερη περιοχή που κάλυπτε ένας καναπές και μπορεί να μετακινηθεί σε διάδρομο με δεξιά και αριστερή γωνία. Ο Conway αξιοποίησε τις τεχνικές του Gerver και βρήκε ένα ”αμφιδέξιο καναπέ” που το σχήμα του κάλυπτε μια περιοχή περίπου 1,64495 τ.μ η οποία είναι η μεγαλύτερη πιθανή περιοχή.

Δείτε το σχετικό video:

Το πρόβλημα αυτό έχει εμφανιστεί στις τηλεοπτικές οθόνες μας μέσα από την αμερικανική σειρά Friends όταν ο Ross Geller, μαζί με τους φίλους του θέλει να μετακινήσει τον καναπέ τού από την είσοδο της πολυκατοικίας στο διαμέρισμα του.

Άρθρο του Ευάγγελου Γκούμα, Μαθηματικός