To Βοεϊκό πρόβλημα του Αρχιμήδη – Ο γρίφος που έμεινε άλυτος για 22 αιώνες

Το Βοεικόν πρόβλημα αποτελεί ένα άλυτο μαθηματικό πρόβλημα για αιώνες, το οποίο αποδίδεται στον Αρχιμήδη. Πηγή έμπνευσης του προβλήματος στάθηκε η Οδύσσεια, και πιο συγκεκριμένα η θανάτωση των βοών του Ηλίου από τους συντρόφους του Οδυσσέα.

Το 1769 ο σπουδαίος Γερμανός φιλόλογος, φιλόσοφος, συγγραφέας, θεατρικός,κριτικός και μεγάλος Ελληνολάτρης G.E. Lessing (1729-1781), έφορος τότε της αξιόλογης βιβλιοθήκης χειρογράφων στο Wolfenbuttel, ανακάλυψε ένα βυζαντινό χειρόγραφο του 14ου αιώνα με 4 άγνωστα ποιήματα της Παλατινής Ανθολογίας. Το ένα, και σημαντικότερο από αυτά είχε επικεφαλίδα που δήλωνε ότι επρόκειτο για αριθμητικό πρόβλημα το οποίο πρότεινε με επιστολή του ο Αρχιμήδης στον Ερατοσθένη. Η εξέταση του προβλήματος δείχνει ότι πρόκειται για πρόβλημα απροσδιορίστου αναλύσεως που ζητά την «πληθύν Ηελίοιο βοών», το πλήθος των βόων του (θεού) Ήλιου, γι΄ αυτό στην βιβλιογραφία ονομάστηκε «Βοεϊκό πρόβλημα του Αρχιμήδη».

Προφανώς υπήρχε κόντρα μεταξύ των μαθηματικών της Αλεξάνδρειας και του Συρακούσιου μαθηματικού που επεδίωξε να τους ταπεινώσει με ένα πρόβλημα εξαιρετικής δυσκολίας.

Το χειρόγραφο είχε την μορφή ποιήματος. Σε ελεύθερη μετάφραση:

Τα βόδια του Θεού ήλιου
Μέτρησε ξένε τα βόδια του θεού ήλιου που έβοσκαν στης Σικελίας τις πεδιάδες, αφού λάβεις υπόψη σου τα ακόλουθα:
Οι ταύροι είναι χωρισμένοι σε τέσσερις αγέλες, ανάλογα με το χρώμα τους τους λευκούς, τους κυανούς, τους ξανθούς και τους ανάμεικτους.
Το πλήθος των λευκών ταύρων ήταν ίσο με τα πέντε έκτα των κυανών συν το πλήθος των ξανθών, ενώ το πλήθος των κυανών ταύρων ήταν ίσο με τα εννιά εικοστά του πλήθους των ανάμεικτων αυξημένο κατά τον αριθμό των ξανθών ταύρων
Οι ανάμεικτοι ταύροι ισούνται με τα δεκατρία τεσσαρακοστά δεύτερα των λευκών συν τους ξανθούς ταύρους. Οι λευκές αγελάδες ήταν ίσες με τα επτά δωδέκατα της κυανής αγέλης. Οι κυανές αγελάδες είναι ίσες με τα εννιά εικοστά της ανάμεικτης αγέλης, οι αγελάδες ανάμεικτου χρώματος είναι ίσες με τα 11 τριακοστά της ξανθής αγέλης.
Τέλος οι ξανθές αγελάδες ισούνται με τα 13 τεσσαρακοστά δεύτερα της λευκής αγέλης. Το άθροισμα των λευκών και των κυανών ταύρων είναι τετράγωνος αριθμός, ενώ το άθροισμα των ξανθών και των ανάμεικτων ταύρων είναι τρίγωνος αριθμός. Αν θέλεις να ονομάζεσαι σοφός υπολόγισε πόσοι είναι οι ταύροι και οι αγελάδες κάθε χρώματος;

Πρόκειται για σύστημα με οκτώ αγνώστους και εννιά εξισώσεις, ως εξής:
Έστω Λ οι λευκοί ταύροι, Κ οι κυανοί, Α οι ταύροι ανάμεικτου χρώματος, και Ξ οι ξανθοί ταύροι, λ οι λευκές αγελάδες, κ οι κυανές, α οι αγελάδες ανάμεικτου χρώματος και ξ οι ξανθές. Τότε προκύπτουν οι εξισώσεις:
Μια σπαζοκεφαλιά άλυτη ηλικίας 22..αιώνων.
Οι πρώτες εφτά εξισώσεις δίνουν ένα σύστημα του Διόφαντου επτά εξισώσεων με 8 αγνώστους. Δύσκολο μεν, αλλά βατό. Ο G.E. Lessing έλυσε το σύστημα των 7 πρώτων εξισώσεων και κατέληξε στις ακόλουθες απαντήσεις:

1. Λευκή αγέλη: ταύροι: 829 318 560, αγελάδες: 576 508 800, σύνολο: 1 407 827 360
2. Κυανή αγέλη: ταύροι: 596 841 120, αγελάδες: 391 459 680, σύνολο: 988 300 800
3. Ανάμικτη αγέλη: ταύροι: 588 644 800, αγελάδες: 281 265 600, σύνολο: 869 910 400
4. Ξανθή αγέλη: ταύροι: 331 950 960, αγελάδες: 435 137 040, σύνολο: 767 088 000
5. Γενικό σύνολο των βοοειδών του θεού Ήλιου: 4 031 126 560
   

Οι δύο τελευταίες εξισώσεις όμως μετατρέπουν το σύστημα από δύσκολο σε εξαιρετικά δύσκολο και μάλλον άλυτο γρίφο. Προφανώς οι απαντήσεις του Lessing ήταν μια φιλότιμη πριν ανεπιτυχής προσπάθεια να λυθεί ο γρίφος του Αρχιμήδη. Το 19ο αιώνα το βοεικό πρόβλημα αντιστάθηκε επιτυχώς στις προσπάθειες των μαθηματικών να το δαμάσουν.

Η απάντηση, το πλήθος δηλαδή των ταύρων και των αγελάδων του κάθε χρώματος είναι τόσο μεγάλη (πάνω από 200.000 ψηφία η κάθε μία, δηλαδή όσα γράμματα σε ένα μετρίου μεγέθους βιβλίο) που είναι αδύνατον να την προσδιορίσει κανείς χωρίς χρήση ηλεκτρονικού Υπολογιστή. Χρειάστηκε να περιμένουμε 2.000 χρόνια, μέχρι το 1965, όταν οι Williams, German και Zarnke με χρήση 2 υπολογιστών της ΙΒΜ κατέγραψαν την λύση (και αυτή , όχι πλήρη). Το σχετικό τους άρθρο δημοσιεύτηκε το 1965 στο Mathematics of Computations, τόμος 19. O Nelson (βλέπε, J. Relational Mathematics, τόμος 13 του 1980) έλεγξε την ορθότητα της απαντήσεως τους.

Η λύση επαληθεύτηκε το 1981 από τον υπερυπολογιστή Cray 1, ο οποίος χρειάστηκε μόλις 10 λεπτά για τον υπολογισμό.

Πηγή: www.lecturesbureau.gr