Μια διεθνής ομάδα φυσικών εφάρμοσε τη θεωρία των πιθανοτήτων του Bayes στον κόσμο της κβαντικής. Εφαρμόζοντας την “αρχή της ελάχιστης αλλαγής” – όπου οι πεποιθήσεις ενημερώνονται στο ελάχιστο δυνατό, κατάφεραν να εξαγάγουν μια κβαντική εκδοχή του θεωρήματος του Bayes από θεμελιώδεις αρχές.
Η εργασία τους, συνδέει την αρχή της κβαντικής πιστότητας (ένα μέτρο ομοιότητας μεταξύ κβαντικών καταστάσεων) με την κλασική συλλογιστική των πιθανοτήτων, μια μαθηματική έννοια γνωστή ως απεικόνιση του Petz (Petz map).
Η κβαντική εκδοχή μιας θεωρίας 250 ετών
Το πόσο πιθανό θεωρείς ότι είναι να συμβεί κάτι εξαρτάται από όσα ήδη πιστεύεις για την εκάστοτε κατάσταση. Αυτή η απλή ιδέα αποτελεί τη βάση του θεωρήματος του Bayes, μιας μαθηματικής μεθόδου για τον υπολογισμό πιθανοτήτων που διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1763. Τώρα, μια διεθνής ομάδα επιστημόνων απέδειξε ότι ο κανόνας του Bayes μπορεί να εφαρμοστεί και στο πεδίο της κβαντικής.
«Θα έλεγα πως πρόκειται για πρωτοποριακή ανακάλυψη στη μαθηματική φυσική», εξήγησε ο καθηγητής Valerio Scarani, υποδιευθυντής και κύριος ερευνητής στο Κέντρο Κβαντικών Τεχνολογιών, και μέλος της ομάδας. Οι υπόλοιποι συγγραφείς της μελέτης που δημοσιεύτηκε στις 28 Αυγούστου του 2025 στο Physical Review Letters, είναι η αναπληρώτρια καθηγήτρια Ge Bai στο πανεπιστήμιο Επιστήμης και Τεχνολογίας της Κίνας, στο Χονγκ Κονγκ και ο καθηγητής Francesco Buscemi απ’ το πανεπιστήμιο Nagoya της Ιαπωνίας.
«Το θεώρημα του Bayes μας βοηθά να κάνουμε πιο έξυπνους υπολογισμούς εδώ και 250 χρόνια. Σήμερα, του έχουμε μάθει μερικά κβαντικά κόλπα», εξήγησε ο καθηγητής Buscemi. Αν και στο παρελθόν, άλλοι ερευνητές έχουν προτείνει κβαντικές εκδοχές του θεωρήματος του Bayes, η συγκεκριμένη επιστημονική ομάδα είναι η πρώτη που εξήγαγε έναν πραγματικό κβαντικό κανόνα του Bayes βασιζόμενη σε μια θεμελιακή, αρχή της Φυσικής.
Υπό όρους πιθανότητα
Το θεώρημα του Bayes οφείλει την ονομασία του στον Thomas Bayes, ο οποίος περιέγραψε τη μέθοδό του για τον υπολογισμό υπό όρους πιθανοτήτων στην εργασία του «Δοκίμιο προς Επίλυση ενός Προβλήματος στη Θεωρία των Πιθανοτήτων».
Ας υποθέσουμε πως κάποιος είναι θετικός στο τεστ της γρίπης. Μπορεί ήδη να υποπτευόταν ότι είναι άρρωστος, αλλά το αποτέλεσμα, αλλάζει την αξιολόγησή του για την κατάσταση. Το θεώρημα του Bayes, προσφέρει έναν συστηματικό τρόπο επικαιροποίησης της πεποίθησής του, λαμβάνοντας υπόψη την πιθανότητα, το τεστ να είναι λάθος, καθώς και οι αρχικές υποθέσεις που ατόμου.
Ο κανόνας αντιμετωπίζει τις πιθανότητες όχι ως απόλυτα γεγονότα, αλλά ως μέτρο πίστης ή βεβαιότητας. Αυτή η ερμηνεία έχει προκαλέσει μακροχρόνια συζήτηση μεταξύ των στατιστικολόγων, καθώς ορισμένοι θεωρούν ότι η πιθανότητα θα έπρεπε να αντιπροσωπεύει αντικειμενική συχνότητα και όχι υποκειμενική εμπιστοσύνη.
Και όμως, όταν παίζουν ρόλο η αβεβαιότητα και η πίστη, ο κανόνας του Bayes, αναγνωρίζεται ευρέως ως ορθολογικό πλαίσιο λήψης αποφάσεων. Σήμερα, υποστηρίζει αμέτρητες εφαρμογές, από τις ιατρικές εξετάσεις και την πρόγνωση του καιρού, μέχρι την επιστήμη και την μηχανική μάθηση.
Η αρχή της ελάχιστης αλλαγής
Όταν υπολογίζονται οι πιθανότητες με το θεώρημα του Bayes, ακολουθείται η αρχή της ελάχιστης αλλαγής. Μαθηματικά, αυτή η αρχή ελαχιστοποιεί την «απόσταση» μεταξύ των συνδυασμένων κατανομών πιθανοτήτων της αρχικής και της ενημερωμένης πεποίθησης.
Με απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι κάθε φορά που προκύπτει μια νέα πληροφορία, οι πεποιθήσεις μας επικαιροποιούνται όσο το δυνατόν λιγότερο, αλλά με τρόπο που να συμφωνεί με τα νέα δεδομένα. Στην περίπτωση του τεστ της γρίπης για παράδειγμα, ένα αρνητικό τεστ δεν σημαίνει ότι το άτομο είναι υγιές, απλώς ότι η πιθανότητα να έχει γρίπη μειώνεται.
Στην εργασία τους οι καθηγητές Scarani, από το τμήμα Φυσικής του NUS, η αναπληρώτρια καθηγήτρια Bai, και ο καθηγητής Buscemi, ξεκίνησαν από μια κβαντική αναλογία στην αρχή της ελάχιστης αλλαγής. Την ποσοτικοποίησαν μέσω της κβαντικής πιστότητας (quantum fidelity), ενός μέτρου που εκφράζει πόσο κοντά βρίσκονται δύο κβαντικές καταστάσεις.
Ανέκαθεν, οι ερευνητές πίστευαν πως ένας κβαντικός κανόνας του Bayes, θα έπρεπε να υπάρχει επειδή οι κβαντικές καταστάσεις ορίζουν τις πιθανότητες. Για παράδειγμα, η κβαντική κατάσταση ενός σωματιδίου, περιγράφει την πιθανότητα αυτό να βρίσκεται σε διαφορετικές θέσεις. Στόχος είναι να προσδιοριστεί η πλήρης κβαντική κατάσταση, όμως κατά τη μέτρηση το σωματίδιο ανιχνεύεται σε μία μόνο θέση. Αυτή η νέα πληροφορία επικαιροποιεί την προηγούμενη πεποίθηση, ενισχύοντας την πιθανότητα γύρω από εκείνη τη θέση.
Η ομάδα δημιούργησε τον κβαντικό κανόνα του Bayes, μεγιστοποιώντας την κβαντική πιστότητα μεταξύ δύο αντικειμένων που αναπαριστούν τη διαδικασία προς τα εμπρός και προς τα πίσω, σε αναλογία με την κλασική κοινή κατανομή πιθανοτήτων. Η μεγιστοποίηση της πιστότητας, ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση της αλλαγής.
Διαπίστωσαν ότι, σε ορισμένες περιπτώσεις, οι εξισώσεις τους συμφωνούσαν με την απεικόνιση ανάκτησης του Petz (Petz recovery map), η οποία είχε προταθεί από τον Dénes Petz τη δεκαετία του 1980 και αργότερα θεωρήθηκε μία από τις πιο πιθανές μαθηματικές εκφράσεις του κβαντικού κανόνα του Bayes, βασισμένη αποκλειστικά στις ιδιότητές της.
«Είναι η πρώτη φορά που το έχουμε εξάγει από μια ανώτερη αρχή, κάτι που θα μπορούσε να αποτελέσει επικύρωση για τη χρήση του χάρτη Petz», είπε ο καθηγητής Scarani.
Η απεικόνιση Petz έχει πιθανές εφαρμογές στην κβαντική υπολογιστική, σε τομείς όπως η διόρθωση σφαλμάτων σε κβαντικά συστήματα και η μηχανική μάθηση.
Η ερευνητική ομάδα σκοπεύει να εξετάσει εάν η εφαρμογή της αρχής της ελάχιστης αλλαγής και σε άλλα κβαντικά μεγέθη θα μπορούσε να αποκαλύψει νέες λύσεις ή γενικεύσεις του ίδιου κανόνα.
