Τα Μαθηματικά θεωρούνται η επιστήμη της λογικής. Κάθε αποτέλεσμα πρέπει να αποδεικνύεται και κάθε συμπέρασμα να ακολουθεί συγκεκριμένους κανόνες.
Κι όμως, υπάρχουν μαθηματικά αποτελέσματα τόσο παράξενα, ώστε με την πρώτη ματιά μοιάζουν εντελώς λανθασμένα.
Μπορεί ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια και χωρίς καμία κενή θέση να φιλοξενήσει κι άλλους πελάτες; Μπορούν δύο σύνολα διαφορετικού «μεγέθους» να έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων; Και πώς γίνεται το 0,999… να είναι ακριβώς ίσο με το 1;
Ακολουθούν 10 από τα πιο εντυπωσιακά μαθηματικά παράδοξα και αντιδιαισθητικά αποτελέσματα.
1. Το Παράδοξο του Ξενοδοχείου του Hilbert
Φαντάσου ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια.
Τα δωμάτια είναι αριθμημένα:
1, 2, 3, 4, 5, …
Κάθε δωμάτιο είναι κατειλημμένο.
Έρχεται όμως ένας νέος πελάτης και ζητά δωμάτιο.
Σε ένα κανονικό ξενοδοχείο η απάντηση θα ήταν απλή:
«Δεν υπάρχει διαθέσιμο δωμάτιο.»
Στο άπειρο ξενοδοχείο, όμως, υπάρχει λύση.
Ο πελάτης του δωματίου 1 μεταφέρεται στο 2, εκείνος του 2 στο 3, του 3 στο 4 και γενικά κάθε πελάτης από το δωμάτιο n μεταφέρεται στο n+1.
Ξαφνικά το δωμάτιο 1 είναι ελεύθερο.
Ακόμη πιο παράξενο: αν φτάσουν άπειροι νέοι πελάτες, το ξενοδοχείο μπορεί πάλι να τους χωρέσει.
Οι υπάρχοντες πελάτες μεταφέρονται από το δωμάτιο n στο δωμάτιο 2n. Έτσι καταλαμβάνουν μόνο τα ζυγά δωμάτια και όλα τα μονά μένουν διαθέσιμα για τους νέους πελάτες.
Το παράδειγμα δείχνει πόσο διαφορετικά συμπεριφέρεται το άπειρο από τους συνηθισμένους αριθμούς.
2. Το 0,999… Είναι Ίσο με 1
Αυτό είναι ίσως ένα από τα πιο γνωστά αποτελέσματα που μοιάζουν λανθασμένα:
0,999… = 1
Όχι περίπου 1.
Ακριβώς 1.
Μια απλή απόδειξη είναι η εξής.
Έστω:
x = 0,999…
Πολλαπλασιάζουμε επί 10:
10x = 9,999…
Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη:
10x − x = 9,999… − 0,999…
Άρα:
9x = 9
και επομένως:
x = 1
Αφού όμως x = 0,999…, έχουμε:
0,999… = 1
Το παράδοξο δημιουργείται επειδή έχουμε την τάση να φανταζόμαστε ότι υπάρχει ένα απειροελάχιστο κενό μεταξύ των δύο αριθμών.
Στους πραγματικούς αριθμούς, όμως, τέτοιο κενό δεν υπάρχει.
3. Το Παράδοξο των Γενεθλίων
Πόσα άτομα πρέπει να βρίσκονται σε ένα δωμάτιο ώστε η πιθανότητα δύο από αυτά να έχουν την ίδια ημερομηνία γενεθλίων να ξεπερνά το 50%;
50;
100;
183;
Η απάντηση είναι μόλις:
23 άτομα.
Με 23 άτομα, η πιθανότητα τουλάχιστον δύο να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα είναι περίπου 50,7%, αν αγνοήσουμε ορισμένες λεπτομέρειες όπως τα δίσεκτα έτη και θεωρήσουμε τις ημερομηνίες περίπου ισοπίθανες.
Γιατί;
Επειδή δεν συγκρίνουμε ένα συγκεκριμένο άτομο με όλους τους υπόλοιπους.
Συγκρίνουμε όλα τα πιθανά ζευγάρια.
Με 23 άτομα υπάρχουν:
23 × 22 / 2 = 253 ζευγάρια
Άρα υπάρχουν πολύ περισσότερες ευκαιρίες για σύμπτωση από όσες διαισθητικά φανταζόμαστε.
4. Το Παράδοξο του Monty Hall
Βρίσκεσαι σε ένα τηλεπαιχνίδι και μπροστά σου υπάρχουν τρεις πόρτες.
Πίσω από μία υπάρχει ένα αυτοκίνητο.
Πίσω από τις άλλες δύο υπάρχουν κατσίκες.
Επιλέγεις την πόρτα 1.
Ο παρουσιαστής, ο οποίος γνωρίζει πού βρίσκεται το αυτοκίνητο, ανοίγει μία από τις άλλες πόρτες που ξέρει ότι κρύβει κατσίκα.
Μένουν δύο κλειστές πόρτες.
Ο παρουσιαστής σε ρωτά:
«Θέλεις να αλλάξεις επιλογή;»
Η πρώτη σκέψη είναι ότι δεν έχει σημασία. Δύο πόρτες έμειναν, άρα οι πιθανότητες πρέπει να είναι 50%-50%.
Λάθος.
Αν κρατήσεις την αρχική επιλογή σου, η πιθανότητα νίκης παραμένει:
1/3
Αν αλλάξεις πόρτα, η πιθανότητα γίνεται:
2/3
Η αποκάλυψη του παρουσιαστή δεν είναι τυχαία. Γνωρίζει πού βρίσκεται το βραβείο και επιλέγει σκόπιμα μια πόρτα με κατσίκα.
Άρα η καλύτερη στρατηγική είναι:
Να αλλάξεις πόρτα.
5. Το Παράδοξο του Banach–Tarski
Εδώ τα πράγματα γίνονται πραγματικά παράξενα.
Το θεώρημα Banach–Tarski λέει, σε πολύ απλουστευμένη μορφή, ότι μια μαθηματική σφαίρα μπορεί να χωριστεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό εξαιρετικά παράξενων συνόλων σημείων και, μόνο με περιστροφές και μετακινήσεις αυτών των κομματιών, να ανασυντεθεί σε:
δύο σφαίρες ίδιου μεγέθους με την αρχική.
Μία σφαίρα γίνεται δύο.
Μήπως λοιπόν δημιουργήσαμε ύλη από το τίποτα;
Όχι.
Το αποτέλεσμα αφορά ιδανικά μαθηματικά σύνολα και βασίζεται σε πολύ αφηρημένες έννοιες της θεωρίας συνόλων. Τα «κομμάτια» δεν είναι συνηθισμένα στερεά που θα μπορούσαμε να κόψουμε με ένα μαχαίρι και δεν έχουν όγκο με τη συνηθισμένη μαθηματική έννοια.
Άρα δεν μπορούμε να πάρουμε μια πραγματική μπάλα, να την κόψουμε και να δημιουργήσουμε δύο ίδιες μπάλες.
Παρόλα αυτά, ως μαθηματικό αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό.
6. Το Παράδοξο του Russell
Φαντάσου ότι χωρίζουμε τα σύνολα σε δύο κατηγορίες:
- σύνολα που περιέχουν τον εαυτό τους,
- σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους.
Τώρα δημιουργούμε το σύνολο R, το οποίο περιέχει όλα τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους.
Και ρωτάμε:
Το R περιέχει τον εαυτό του;
Αν τον περιέχει, τότε σύμφωνα με τον ορισμό του δεν θα έπρεπε να τον περιέχει.
Αν δεν τον περιέχει, τότε σύμφωνα με τον ίδιο ορισμό θα έπρεπε να τον περιέχει.
Δηλαδή:
Αν ανήκει στον εαυτό του, δεν ανήκει.
και
αν δεν ανήκει, τότε ανήκει.
Το παράδοξο του Russell αποκάλυψε σοβαρά προβλήματα στις πρώιμες προσπάθειες θεμελίωσης της θεωρίας συνόλων και συνέβαλε στην ανάπτυξη αυστηρότερων αξιωματικών συστημάτων.
7. Το Παράδοξο του Ζήνωνα
Ο Αχιλλέας κάνει αγώνα δρόμου με μια χελώνα.
Επειδή είναι πολύ γρηγορότερος, αφήνει τη χελώνα να ξεκινήσει λίγο πιο μπροστά.
Για να την προσπεράσει, ο Αχιλλέας πρέπει πρώτα να φτάσει στο σημείο από το οποίο ξεκίνησε η χελώνα.
Μέχρι να φτάσει εκεί, όμως, η χελώνα έχει προχωρήσει λίγο.
Ο Αχιλλέας πρέπει τώρα να φτάσει στο νέο σημείο.
Μέχρι να φτάσει εκεί, η χελώνα έχει προχωρήσει ξανά.
Και αυτό συνεχίζεται επ’ άπειρον.
Άρα φαίνεται ότι ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα.
Φυσικά, στην πραγματικότητα θα την προσπεράσει.
Το κλειδί είναι ότι ένα άπειρο πλήθος χρονικών διαστημάτων μπορεί να έχει πεπερασμένο συνολικό άθροισμα.
Για παράδειγμα:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1
Υπάρχουν άπειροι όροι, αλλά το άθροισμά τους είναι πεπερασμένο.
8. Υπάρχουν Τόσοι Άρτιοι Αριθμοί Όσοι και Φυσικοί
Οι φυσικοί αριθμοί είναι:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Οι θετικοί άρτιοι είναι:
2, 4, 6, 8, 10, 12, …
Φαίνεται προφανές ότι οι άρτιοι πρέπει να είναι «οι μισοί».
Στο άπειρο, όμως, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε κάθε φυσικό αριθμό με έναν άρτιο:
1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8
5 → 10
…
Γενικά:
n → 2n
Κανένας φυσικός αριθμός δεν περισσεύει και κανένας θετικός άρτιος δεν μένει χωρίς ταίρι.
Με την έννοια της πληθικότητας των συνόλων, λοιπόν, τα δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος.
Αυτό είναι μία από τις πρώτες ενδείξεις ότι στο άπειρο η έννοια του «μεγαλύτερου» και του «μικρότερου» χρειάζεται πολύ μεγαλύτερη προσοχή.
9. Κι Όμως, Κάποια Άπειρα Είναι Μεγαλύτερα από Άλλα
Αφού οι φυσικοί αριθμοί και οι άρτιοι έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, ίσως όλα τα άπειρα να είναι ίδια.
Δεν είναι.
Ο Georg Cantor απέδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι, με μια ακριβή μαθηματική έννοια, μεγαλύτερο από το σύνολο των φυσικών αριθμών.
Οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να μπουν σε μια άπειρη λίστα:
1, 2, 3, 4, 5, …
Λέμε ότι είναι αριθμήσιμοι.
Οι πραγματικοί αριθμοί, αντίθετα, δεν μπορούν να τοποθετηθούν όλοι σε μια τέτοια λίστα.
Ακόμη και μόνο οι πραγματικοί αριθμοί μεταξύ 0 και 1 αποτελούν ένα μη αριθμήσιμο άπειρο.
Ο Cantor το απέδειξε με το περίφημο διαγώνιο επιχείρημά του.
Έτσι προκύπτει ένα από τα πιο εντυπωσιακά συμπεράσματα των Μαθηματικών:
Υπάρχουν διαφορετικά μεγέθη απείρου.
10. Το Παράδοξο του Simpson
Φαντάσου ότι συγκρίνουμε δύο θεραπείες, Α και Β.
Σε μία ομάδα ασθενών, η θεραπεία Α μπορεί να έχει καλύτερο ποσοστό επιτυχίας.
Σε μια δεύτερη ομάδα, η θεραπεία Α μπορεί πάλι να έχει καλύτερο ποσοστό επιτυχίας.
Κι όμως, όταν ενώσουμε τα δεδομένα των δύο ομάδων, μπορεί ξαφνικά η θεραπεία Β να φαίνεται καλύτερη συνολικά.
Πώς γίνεται αυτό;
Το φαινόμενο ονομάζεται παράδοξο του Simpson και μπορεί να εμφανιστεί όταν οι ομάδες έχουν διαφορετικά μεγέθη ή όταν υπάρχει μια σημαντική μεταβλητή που επηρεάζει τον τρόπο με τον οποίο κατανέμονται τα δεδομένα.
Δεν υπάρχει πραγματική αντίφαση. Το παράδοξο δείχνει ότι τα συγκεντρωτικά στατιστικά στοιχεία μπορούν να δημιουργήσουν εντελώς διαφορετική εικόνα από εκείνη που βλέπουμε όταν εξετάζουμε τις επιμέρους ομάδες.
Γι’ αυτό και στατιστικές του τύπου «το Χ έχει μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας από το Υ» χρειάζονται πάντα προσεκτική ερμηνεία.
Τελικά, Είναι τα Μαθηματικά Παράλογα;
Όχι.
Στην πραγματικότητα συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο.
Τα περισσότερα από αυτά τα «παράδοξα» δεν αποδεικνύουν ότι τα Μαθηματικά παραβιάζουν τη λογική. Αποκαλύπτουν ότι η ανθρώπινη διαίσθηση δεν είναι πάντα καλός οδηγός, ιδιαίτερα όταν ασχολούμαστε με το άπειρο, τις πιθανότητες και αφηρημένες μαθηματικές έννοιες.
Η καθημερινή μας εμπειρία μάς έχει μάθει ότι ένα γεμάτο ξενοδοχείο δεν χωρά άλλους πελάτες, ότι το 0,999… πρέπει να είναι μικρότερο από το 1 και ότι αν μείνουν δύο πόρτες, οι πιθανότητες πρέπει να είναι μοιρασμένες στη μέση.
Τα Μαθηματικά, όμως, μας αναγκάζουν να κοιτάξουμε πέρα από αυτό που «φαίνεται προφανές».
Και ίσως αυτό να είναι ένα από τα πιο όμορφα χαρακτηριστικά τους:
Δεν μας δείχνουν απλώς πώς να υπολογίζουμε. Μας μαθαίνουν να αμφισβητούμε ακόμη και όσα θεωρούμε αυτονόητα.
