Τετραγωνισμός του κύκλου: Ένα από τα άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας

Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένας από τους λίγους μαθηματικούς γρίφους που έγινε ευρύτερα γνωστός εκτός των ορίων της μαθηματικής κοινότητας.
Ακόμα και ο απλός κόσμος δεν γνωρίζει τι ακριβώς σημαίνει, πιθανόν να έχει ακουστά το πρόβλημα και να ξέρει ότι είναι δύσκολο, ίσως  και άλυτο.
Πράγματι η φράση «τετραγωνίζω τον κύκλο» έχει περάσει στην καθημερινή γλώσσα και εκφράζει ένα σχέδιο καταδικασμένο στην αποτυχία.

Ο Τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα. Η διατύπωσή του είναι απλή: Ζητείται η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου.

Το 1882, ο μαθηματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε το αδύνατο της επίλυσης του προβλήματος.

Το πρόβλημα

Τετραγωνίζω τον κύκλο σημαίνει ότι κατασκευάζω, με γεωμετρική ή αλγεβρική μέθοδο, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου.

Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει:

• να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη, και
• να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.

Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς.

Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την υπερβατικότητα του αριθμού π. Πιο αναλυτικά, ένας υπερβατικός αριθμός (όπως ο π) είναι ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός, ο οποίος δεν είναι αλγεβρικός, δηλαδή δεν είναι ρίζα κάποιας μη-μηδενικής πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Πράγματι, το ενδιαφέρον για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίσθηκε το 1882, όταν ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός. Υπάρχουν βέβαια τεχνάσματα, όπως η σύνδεση της επιφάνειας κερατοειδούς τόρου με το πρώτο θεώρημα του Αρχιμήδη στο έργο του «Μέτρηση Κύκλου»

Λύσεις του προβλήματος

Πολλοί μαθηματικοί εδώ και πάρα πολλά χρόνια προσπαθούν και δεν μπορούν να αποδεχθούν ότι δεν υπάρχει λύση στο πρόβλημα!

Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα διασημότερα μαθηματικά προβλήματα. Ένα μεγάλο πλήθος μαθηματικών, από την αρχαιότητα μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα, έχουν αφιερώσει μεγάλο κομμάτι της εργασίας τους στην προσπάθεια να τετραγωνίσουν τον κύκλο.

Η λύση του Αρχιμήδη

Ο  Αρχιμήδης  για να λύση το παραπάνω πρόβλημα χρησιμοποίησε μια καμπύλη, που ονομάζεται έλικα, η οποία ανακαλύφτηκε από τον Κόνωνα τον Σάμιο, φίλο του Αρχιμήδη, μελετήθηκε όμως και χρησιμοποιήθηκε από τον Αρχιμήδη.

Η έλικα προκύπτει από την κίνηση του σημείου Ο πάνω στην Οx, από τον Ο προς το x, με σταθερή ταχύτητα αλλά συγχρόνως και η Οx  να κινείται γύρω από το Ο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, οι δύο κινήσεις αρχίζουν την ίδια χρονική στιγμή.
Ο Αρχιμήδης  χρησιμοποιώντας την έλικα υπολογίζει  το μήκος του κύκλου, στη συνέχεια όπως έχει αποδείξει, το εμβαδόν του κύκλου θα είναι ίσο, με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με μία κάθετη πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου και την άλλη ίση με το μήκος του κύκλου και τελικά τετραγωνίζει το τρίγωνο που προκύπτει.

Η λύση του Δεινόστρατου

Στην μεγάλη επιτομή του Πάππου, η οποία πρέπει να γράφτηκε στην εποχή του αυτοκράτορα Διοκλητιανού (284-305 μ.Χ.),αναφέρεται ότι  ο Δεινόστρατος, ο αδελφός του Μεναίχμου και ο Νικομήδης χρησιμοποίησαν για τον τετραγωνισμό του κύκλου μια καμπύλη, η οποία για τον λόγο αυτό ονομάστηκε  τετραγωνίζουσα. Την καμπύλη αυτή την ανακάλυψε  ο Ιππίας  φαίνεται όμως ότι ο Δεινόστρατος  την χρησιμοποίησε για τον τετραγωνισμό του κύκλου. (Την  τετραγωνίζουσα  έχουμε περιγράψει στο πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας –η λύση  του Ιππία) 

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα τετράγωνο ΟΑΓΔ, ένα ημικύκλιο ΑΔ και  την τετραγωνίζουσα  ΔΕ.  Ονομάζουμε   q=το  μήκος  του τόξου  ΑΔ.

Ο Πάππος, ενδεχόμενα ο ίδιος ο Δεινόστρατος (γύρω  στο 350 π.Χ.), απέδειξε  ότι :

Από  την  (1)  προκύπτει  ότι το μήκος  q  του τεταρτοκυκλίου  ΑΔ κατασκευάζεται  ως τέταρτη ανάλογος των  α,α ( το τμήμα  α  είναι η  ακτίνα  του κύκλου στον  οποίο ανήκει το τόξο) και  του μήκους  ΟΕ, όπου  Ε είναι  το σημείο στο  οποίο  η τετραγωνίζουσα τέμνει την  ΟΑ. Μπορούμε τώρα  να κατασκευάσουμε  ένα ευθύγραμμο τμήμα  με μήκος 4q,  δηλαδή ίσο με το μήκος του κύκλου.

Ο Δεινόστρατος  προφανώς γνώριζε την πρόταση που απέδειξε αργότερα ο Αρχιμήδης ότι : 
Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι  ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, που η μία από τις κάθετες πλευρές  του είναι ίση με το μήκος του κύκλου και η άλλη με το μήκος της ακτίνας του.

Έτσι για να τετραγωνίσουμε τον κύκλο ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

· σχηματίζουμε  ένα ορθογώνιο τρίγωνο  ΑΒΓ  με κάθετες  πλευρές  ΑΓ= r  και  ΑΒ = 4q.

· παίρνουμε  το μέσο  Μ  της  ΑΒ  και  σχηματίζουμε  το ορθογώνιο  ΑΜΔΓ  του οποίου το εμβαδό  θα είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου.

· προεκτείνουμε την ΓΔ  και παίρνουμε  τμήμα  ΔΕ = ΔΜ,  κατασκευάζουμε  το ημικύκλιο με διάμετρο την ΓΕ,  στο σημείο Δ  φέρουμε την κάθετη ΔΖ προς  την  ΓΕ  και  το τμήμα  ΔΖ  είναι  η πλευρά  x   του ζητούμενου τετραγώνου  

 Πράγματι: